Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$, $SA$ vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. ${{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
- Ta có, $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot BA \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB\bot BC$.
- Hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$ có $SB\subset \left( SBC \right)$, $SB\bot BC$ và $AB\subset \left( ABC \right)$, $AB\bot BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SBA}$. Theo giả thiết ta có $\widehat{SBA}={{60}^{0}}$.
- Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
- Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
A. ${{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
& BC\bot BA \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB\bot BC$.
- Hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$ có $SB\subset \left( SBC \right)$, $SB\bot BC$ và $AB\subset \left( ABC \right)$, $AB\bot BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SBA}$. Theo giả thiết ta có $\widehat{SBA}={{60}^{0}}$.
- Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
- Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.