Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ với đáy ABC là tam giác vuông cân tại $B$. $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
B. $4{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Gọi K là trung điểm AC, khi đó $BK\bot AC$.
Ta lại có $SA\bot BK\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right) \Rightarrow SC\bot BK\left( 1 \right)$.
Kẻ $BH\bot SC \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow SC\bot \left( BKH \right)\Rightarrow SC\bot KH$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& BH\bot SC \\
& KH\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( SBC \right) \right)=\left( BH,KH \right)=\widehat{BHK}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta BHK$ vuông tại K: $\tan 60{}^\circ =\dfrac{BK}{KH}\Leftrightarrow BK=\sqrt{3}.KH$.
Do $\Delta SAC\backsim \Delta KHC \left( g-g \right)$ nên $\dfrac{SA}{KH}=\dfrac{SC}{KC}\Leftrightarrow SC=\dfrac{SA.KC}{KH}=\dfrac{SA.BK}{KH}=\dfrac{2a.\sqrt{3}KH}{KH}=2a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta SAC$ vuông tại A, áp dụng pytago ta được $AC=\sqrt{S{{C}^{2}}-S{{A}^{2}}}=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=2a$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
B. $4{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Ta lại có $SA\bot BK\Rightarrow BK\bot \left( SAC \right) \Rightarrow SC\bot BK\left( 1 \right)$.
Kẻ $BH\bot SC \left( 2 \right)$. Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ $\Rightarrow SC\bot \left( BKH \right)\Rightarrow SC\bot KH$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( SBC \right)=SC \\
& BH\bot SC \\
& KH\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( SBC \right) \right)=\left( BH,KH \right)=\widehat{BHK}=60{}^\circ $.
Xét $\Delta BHK$ vuông tại K: $\tan 60{}^\circ =\dfrac{BK}{KH}\Leftrightarrow BK=\sqrt{3}.KH$.
Do $\Delta SAC\backsim \Delta KHC \left( g-g \right)$ nên $\dfrac{SA}{KH}=\dfrac{SC}{KC}\Leftrightarrow SC=\dfrac{SA.KC}{KH}=\dfrac{SA.BK}{KH}=\dfrac{2a.\sqrt{3}KH}{KH}=2a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta SAC$ vuông tại A, áp dụng pytago ta được $AC=\sqrt{S{{C}^{2}}-S{{A}^{2}}}=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=2a$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.
