Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân ở $B;\widehat{ABC}=120{}^\circ ;AC=a\sqrt{3}.$ Các cạnh bên $SA=SB=SC;SB$ tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ .$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
$SA=SB=SC\Rightarrow $ chân đường cao $H$ kẻ từ đỉnh $S$ của hình chóp $S.ABC$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (với $H\in BM,M$ là trung điểm của $AC$ ).
Khi đó, $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB,\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SB,HB} \right)=\widehat{SBH}=60{}^\circ .$
Ta có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC}\Rightarrow AB=BC=a.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow BH=\dfrac{AC}{2\sin \widehat{ABC}}=a\Rightarrow SH=BH.\tan \widehat{SBH}=a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$ .
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Khi đó, $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB,\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SB,HB} \right)=\widehat{SBH}=60{}^\circ .$
Ta có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC}\Rightarrow AB=BC=a.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
$\Rightarrow BH=\dfrac{AC}{2\sin \widehat{ABC}}=a\Rightarrow SH=BH.\tan \widehat{SBH}=a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$ .
Đáp án B.