Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ $ các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Nhận thấy: $\left( SA,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SAO}$, $\left( SB,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SBO}$ và $\left( SC,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SCO}$ nên suy ra $OA=OB=OC$ hay $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC}=120{}^\circ $, nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30{}^\circ $.
Khi đó: $\dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=2OA$ hay $OA=\dfrac{AB}{2\sin \widehat{ACB}}=\dfrac{a}{2.\sin 30{}^\circ }=a$.
Ta có: $SO=OA.\tan \widehat{SAO}=a.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\left( \dfrac{1}{2}.a.a.\sin 120{}^\circ \right)=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC}=120{}^\circ $, nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30{}^\circ $.
Khi đó: $\dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=2OA$ hay $OA=\dfrac{AB}{2\sin \widehat{ACB}}=\dfrac{a}{2.\sin 30{}^\circ }=a$.
Ta có: $SO=OA.\tan \widehat{SAO}=a.\tan 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\left( \dfrac{1}{2}.a.a.\sin 120{}^\circ \right)=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Đáp án D.