Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân đỉnh $A, AB=a\sqrt{2}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{HA}=-2\overrightarrow{HI}$, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
Ta có $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân đỉnh $A$, $I$ là trung điểm của $BC$.
Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{HA}=-2\overrightarrow{HI}$ nên ta có $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{3}IA=\dfrac{a}{3}$.
Xét $\Delta IHC$ vuông tại $I$ : $CH=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( a \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$.
Ta lại có $SH\bot \left( ABC \right)$ suy ra $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( ABC \right)$.
Mà $SC\cap \left( ABC \right)=\left\{ C \right\}$ $\Rightarrow $ Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SCH}=60{}^\circ $.
Do đó $\tan \widehat{SCH}=\dfrac{SH}{HC}$ $\Rightarrow SH=HC.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{1}{2}AB.AC \right).SH=$ $\dfrac{1}{6}{{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{30}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{9}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{HA}=-2\overrightarrow{HI}$ nên ta có $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{3}IA=\dfrac{a}{3}$.
Xét $\Delta IHC$ vuông tại $I$ : $CH=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( a \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$.
Ta lại có $SH\bot \left( ABC \right)$ suy ra $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( ABC \right)$.
Mà $SC\cap \left( ABC \right)=\left\{ C \right\}$ $\Rightarrow $ Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SCH}=60{}^\circ $.
Do đó $\tan \widehat{SCH}=\dfrac{SH}{HC}$ $\Rightarrow SH=HC.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{1}{2}AB.AC \right).SH=$ $\dfrac{1}{6}{{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{30}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{9}$.
Đáp án A.