Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
Lời giải chi tiết
Xét hình chóp đều \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\) có \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\)
Khi đó \(H{A_1} = H{A_2} = ... = H{A_n}\) và \(SH \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) \( \Rightarrow SH \bot S{A_1},...SH \bot S{A_n}\).
Xét các tam giác vuông \(SH{A_{m - 1}}\) và \(SH{A_m}\) \(\left( {2 \le m \le n} \right)\) có:
\(SH\) chung
\(H{A_{m - 1}} = H{A_m}\) (gt)
\(\Rightarrow \Delta SH{A_{m - 1}} = \Delta SH{A_m}\) (hai cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow S{A_{m - 1}} = {S_m}\) (hai cạnh tương ứng)
Vậy \(S{A_{m - 1}} = S{A_m}\) hay \(S{A_1} = S{A_2} = ... = S{A_n}\) nên các mặt bên đều là các tam giác cân.
Xét hình chóp đều \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\) có \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\)
Khi đó \(H{A_1} = H{A_2} = ... = H{A_n}\) và \(SH \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) \( \Rightarrow SH \bot S{A_1},...SH \bot S{A_n}\).
Xét các tam giác vuông \(SH{A_{m - 1}}\) và \(SH{A_m}\) \(\left( {2 \le m \le n} \right)\) có:
\(SH\) chung
\(H{A_{m - 1}} = H{A_m}\) (gt)
\(\Rightarrow \Delta SH{A_{m - 1}} = \Delta SH{A_m}\) (hai cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow S{A_{m - 1}} = {S_m}\) (hai cạnh tương ứng)
Vậy \(S{A_{m - 1}} = S{A_m}\) hay \(S{A_1} = S{A_2} = ... = S{A_n}\) nên các mặt bên đều là các tam giác cân.