Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\) ta có
\(\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R\).
\(\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R\).
Lời giải chi tiết
\(\cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\dfrac{a}{{2R}}}}\)
\(= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\)
Tương tự ta cũng có \(\cot B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R ;\)
\( \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R.\)
Từ đó suy ra \(\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)
\(\cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\dfrac{a}{{2R}}}}\)
\(= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\)
Tương tự ta cũng có \(\cot B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R ;\)
\( \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R.\)
Từ đó suy ra \(\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)