Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba trung tuyến bằng \(15,18,27.\)
a) Tính diện tích của tam giác.
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
a) Tính diện tích của tam giác.
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
Lời giải chi tiết
(h. 68).
A)Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì
\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{GBC}}}} = \dfrac{{AI}}{{GI}} = 3\)
Vậy \(S = 3{S_{GBC}}\).
Lấ điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(I\) ta được hình bình hành \(BGCD\), do đó
\({S_{GBC}} = {S_{BGD}} = \dfrac{1}{2}{S_{BGCD}}\).
Vậy \({S_{ABC}} = 3{S_{BGD}}\).
Tam giác \(BGD\) có độ dài ba cạnh bằng \(10,12,18\) nên
\({S_{BGD}}\) \(= \sqrt {20.(20 - 10)(20 - 12)(20 - 18)} \)\(= \sqrt {20.10.8.2} = 40\sqrt 2 \).
Vậy \(S = 3.40\sqrt 2 = 120\sqrt 2 \).
b) Giả sử \({m_a} = 15, {m_b} = 18 , {m_c} = 27\). Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {c^2} = 2{m_a}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\{a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \\= \dfrac{4}{3}.\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 1704.\)
Ta lại có
\(\begin{array}{l}{b^2} - {a^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 - m_b^2} \right) = - 132 ; \\{b^2} - {c^2} = \dfrac{4}{3}\left({m_c^2 - m_b^2} \right) = 540.\end{array}\)
Từ đó ta tính được \(b = 8\sqrt {11} ; a = 2\sqrt {209} ; c = 2\sqrt {41} .\)
(h. 68).
A)Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì
\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{GBC}}}} = \dfrac{{AI}}{{GI}} = 3\)
Vậy \(S = 3{S_{GBC}}\).
Lấ điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(I\) ta được hình bình hành \(BGCD\), do đó
\({S_{GBC}} = {S_{BGD}} = \dfrac{1}{2}{S_{BGCD}}\).
Vậy \({S_{ABC}} = 3{S_{BGD}}\).
Tam giác \(BGD\) có độ dài ba cạnh bằng \(10,12,18\) nên
\({S_{BGD}}\) \(= \sqrt {20.(20 - 10)(20 - 12)(20 - 18)} \)\(= \sqrt {20.10.8.2} = 40\sqrt 2 \).
Vậy \(S = 3.40\sqrt 2 = 120\sqrt 2 \).
b) Giả sử \({m_a} = 15, {m_b} = 18 , {m_c} = 27\). Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {c^2} = 2{m_a}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\{a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \\= \dfrac{4}{3}.\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 1704.\)
Ta lại có
\(\begin{array}{l}{b^2} - {a^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 - m_b^2} \right) = - 132 ; \\{b^2} - {c^2} = \dfrac{4}{3}\left({m_c^2 - m_b^2} \right) = 540.\end{array}\)
Từ đó ta tính được \(b = 8\sqrt {11} ; a = 2\sqrt {209} ; c = 2\sqrt {41} .\)