Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\).
Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.
Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.
Lời giải chi tiết
Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ; {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\).
Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).
Từ giả thiết suy ra:
\(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\).
Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\).
\(\begin{array}{l}pa = p(b + c) - bc \\\Rightarrow bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow 2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)
Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).
Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ; {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\).
Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).
Từ giả thiết suy ra:
\(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\).
Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\).
\(\begin{array}{l}pa = p(b + c) - bc \\\Rightarrow bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow 2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)
Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).