Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(r_a\) là bán kính đường tròn bàng tiếp góc \(A\). Chứng minh rằng diện tích tam giác \(ABC\) tính được theo công thức:
\(S = (p - a){r_a}\).
\(S = (p - a){r_a}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(Q, R, P\) là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp \((J; r_a)\) lần lượt với các đường thẳng \(BC, CA, AB\) (h. 67) thì:
\(\begin{array}{l}{S_{JAB}} = \dfrac{1}{2}. AB. JP = \dfrac{{c.{r_a}}}{2} , \\{S_{JAC}} = \dfrac{1}{2}. AC. JR = \dfrac{{b.{r_a}}}{2} ,\\{S_{JBC}} = \dfrac{1}{2}. BC. JQ = \dfrac{{a{r_a}}}{2}.\end{array}\)
Ta có
\(S = {S_{JAB}} + {S_{JAC}} - {S_{JBC}}\)
\(= \dfrac{{b + c - a}}{2}{r_a} = \dfrac{{a + b + c - 2a}}{2}{r_a}\).
Vậy \(S = (p - a){r_a}\).
Gọi \(Q, R, P\) là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp \((J; r_a)\) lần lượt với các đường thẳng \(BC, CA, AB\) (h. 67) thì:
\(\begin{array}{l}{S_{JAB}} = \dfrac{1}{2}. AB. JP = \dfrac{{c.{r_a}}}{2} , \\{S_{JAC}} = \dfrac{1}{2}. AC. JR = \dfrac{{b.{r_a}}}{2} ,\\{S_{JBC}} = \dfrac{1}{2}. BC. JQ = \dfrac{{a{r_a}}}{2}.\end{array}\)
Ta có
\(S = {S_{JAB}} + {S_{JAC}} - {S_{JBC}}\)
\(= \dfrac{{b + c - a}}{2}{r_a} = \dfrac{{a + b + c - 2a}}{2}{r_a}\).
Vậy \(S = (p - a){r_a}\).