Bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Câu a​

;
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số   lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số    với đường thẳng
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số:
+) Tập xác định:
+) Sự biến thiên:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng và ; hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
+) Giới hạn:
Bảng biến thiên:

+) Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Câu b​

 ;
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số   lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số    với đường thẳng
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:

Ta có:
Xét hàm số:
Tập xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Giới hạn: 
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình   là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Xét hàm số y = f(x) = -2x3​ + 3x2​ – 2.
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -6x2​ + 6x = -6x(x - 1)
y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3​ + 3x2​ - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

Câu c​

.
Phương pháp giải:
+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số   lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số    với đường thẳng
+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:

Xét hàm số:
Tập xác định:
Sự biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng và hàm số nghịch biến trên khoảng và
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm và
Hàm số đạt cực tiểu tại
Giới hạn:
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số  tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.