Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
Phương pháp giải
- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.
- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC}) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) (1)
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (2)
\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) (3)
Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot CD, AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) và do đó \(AD \bot BC\).”
- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.
- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC}) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) (1)
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) (2)
\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) (3)
Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot CD, AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\) và do đó \(AD \bot BC\).”