Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\overrightarrow a \). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Phương pháp giải
- Dựng véc tơ đơn vị \(\overrightarrow {{a_0}} \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \)
- Dựng điểm \({A_0}\) sao cho \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là hình chiếu của \({A_0}\) lên các trục tọa độ.
- Tính \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \) và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \), ta có \(\overrightarrow {{a_0}} = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \).
Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có: \(\) \(\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \)
Vì \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \)
Ta có \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + \overrightarrow {O{A_3}} \) , ta suy ra: \(\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \) hay \(\overrightarrow {O{A_0}} = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma)\).
Vì \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
- Dựng véc tơ đơn vị \(\overrightarrow {{a_0}} \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \)
- Dựng điểm \({A_0}\) sao cho \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là hình chiếu của \({A_0}\) lên các trục tọa độ.
- Tính \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \) và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \), ta có \(\overrightarrow {{a_0}} = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \).
Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có: \(\) \(\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \)
Vì \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \)
Ta có \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + \overrightarrow {O{A_3}} \) , ta suy ra: \(\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \) hay \(\overrightarrow {O{A_0}} = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma)\).
Vì \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)