Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ của \(M \in \left( {Oxz} \right)\). Tính khoảng cách \(MA, MB, MC\).
- Lập hệ phương trình, giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:
MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2
MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2
MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({1 - x} \right)^2} + 1 + {\left({1 - z} \right)^2} = {\left({ - 1 - x} \right)^2} + 1 + {z^2}\\
{\left({1 - x} \right)^2} + 1 + {\left({1 - z} \right)^2} = {\left({3 - x} \right)^2} + 1 + {\left({ - 1 - z} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2x + 1 - 2z = 2x\\
1 - 2x - 2z = 9 - 6x + 2z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4x - 2z + 1 = 0\\
4x - 4z - 8 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{6}\\
z = - \dfrac{7}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left({\dfrac{5}{6}; 0; - \dfrac{7}{6}} \right)
\end{array}\)
- Gọi tọa độ của \(M \in \left( {Oxz} \right)\). Tính khoảng cách \(MA, MB, MC\).
- Lập hệ phương trình, giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:
MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2
MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2
MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({1 - x} \right)^2} + 1 + {\left({1 - z} \right)^2} = {\left({ - 1 - x} \right)^2} + 1 + {z^2}\\
{\left({1 - x} \right)^2} + 1 + {\left({1 - z} \right)^2} = {\left({3 - x} \right)^2} + 1 + {\left({ - 1 - z} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2x + 1 - 2z = 2x\\
1 - 2x - 2z = 9 - 6x + 2z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4x - 2z + 1 = 0\\
4x - 4z - 8 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{6}\\
z = - \dfrac{7}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left({\dfrac{5}{6}; 0; - \dfrac{7}{6}} \right)
\end{array}\)