Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\) và nhận xét nếu \(\cos \alpha > 0\) thì \(\alpha \) nhọn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - a; b; 0)\) và \(\overrightarrow {AC} = ( - a; 0; c)\)
\(\begin{array}{l}
\cos \widehat {BAC} = \cos \left({\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\
\overrightarrow {BA} = \left({a; - b; 0} \right),\overrightarrow {BC} = \left({0; - b; c} \right)\\
\cos \widehat {ABC} = \cos \left({\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\
\overrightarrow {CA} = \left({a; 0; - c} \right),\overrightarrow {CB} = \left({0; - b; - c} \right)\\
\Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left({\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0}
\end{array}\)
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.
Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\) và nhận xét nếu \(\cos \alpha > 0\) thì \(\alpha \) nhọn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - a; b; 0)\) và \(\overrightarrow {AC} = ( - a; 0; c)\)
\(\begin{array}{l}
\cos \widehat {BAC} = \cos \left({\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\
\overrightarrow {BA} = \left({a; - b; 0} \right),\overrightarrow {BC} = \left({0; - b; c} \right)\\
\cos \widehat {ABC} = \cos \left({\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\
\overrightarrow {CA} = \left({a; 0; - c} \right),\overrightarrow {CB} = \left({0; - b; - c} \right)\\
\Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left({\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0}
\end{array}\)
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.