Google
Câu hỏi: Hình hộp đứng $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy là một hình thoi với diện tích $S_{1}$. Hai mặt chéo $A C C^{\prime} A^{\prime}$ và $B D D^{\prime} B^{\prime}$ có diện tích lần lượt bằng $S_{2}$ và $S_{3}$. Khi đó thể tích của hình hộp là
A. $\sqrt{\frac{S_{1} S_{2} S_{3}}{2}} ;$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{S_{1} S_{2} S_{3}}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{S_{1} S_{2} S_{3}}$
D. $\frac{S_{1}}{2} \sqrt{S_{2} S_{3}}$
Các tứ giác ACC'A' và BDD'B' đều là hình chữ nhật nên:
$S_{2}=A C . A A=A C . h$
$S_{3}=B D \cdot B B^{\prime}=B D \cdot h$
$\Rightarrow S_{2} S_{3}=A C . B D . h^{2}=2 S_{1} h^{2}$
$\Rightarrow h=\sqrt{\frac{S_{2} S_{3}}{2 S_{1}}}$
$\Rightarrow V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=S_{1} h$
$=S_{1} \cdot \sqrt{\frac{S_{2} S_{3}}{2 S_{1}}}=\sqrt{\frac{S_{1} S_{2} S_{3}}{2}}$
A. $\sqrt{\frac{S_{1} S_{2} S_{3}}{2}} ;$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{S_{1} S_{2} S_{3}}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{S_{1} S_{2} S_{3}}$
D. $\frac{S_{1}}{2} \sqrt{S_{2} S_{3}}$
Các tứ giác ACC'A' và BDD'B' đều là hình chữ nhật nên:
$S_{2}=A C . A A=A C . h$
$S_{3}=B D \cdot B B^{\prime}=B D \cdot h$
$\Rightarrow S_{2} S_{3}=A C . B D . h^{2}=2 S_{1} h^{2}$
$\Rightarrow h=\sqrt{\frac{S_{2} S_{3}}{2 S_{1}}}$
$\Rightarrow V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=S_{1} h$
$=S_{1} \cdot \sqrt{\frac{S_{2} S_{3}}{2 S_{1}}}=\sqrt{\frac{S_{1} S_{2} S_{3}}{2}}$
Đáp án A.