Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều \(S. ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).
Phương pháp giải
a) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.
b) Chứng minh \(BD \bot (SAC)\) và sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng này đều vuông góc mặt phẳng kia.
c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Lời giải chi tiết
A) Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)
Tam giác ABD vuông tại A nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \) \(\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\):
\(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)
b) \(BD\bot AC\) , \(BD\bot SO\) nên \(BD \bot (SAC)\),
Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)\).
c) \(OM =\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy).
\(\Delta SDC = \Delta SBC(c. C. C)\) suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)
\(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)
\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\}\)
\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)
Ta có \(OM=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) hay \(OM=MC\)
Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\) nên \(\widehat{MOC}=45^{0}.\)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(45^0\).
a) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.
b) Chứng minh \(BD \bot (SAC)\) và sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng này đều vuông góc mặt phẳng kia.
c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Lời giải chi tiết
A) Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)
Tam giác ABD vuông tại A nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \) \(\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\):
\(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)
b) \(BD\bot AC\) , \(BD\bot SO\) nên \(BD \bot (SAC)\),
Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)\).
c) \(OM =\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy).
\(\Delta SDC = \Delta SBC(c. C. C)\) suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)
\(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)
\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\}\)
\(\Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)
Ta có \(OM=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) hay \(OM=MC\)
Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\) nên \(\widehat{MOC}=45^{0}.\)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(45^0\).