Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $30{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Suy ra $BD\bot AO$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $. Mà $ SO\subset \left( SAC \right) $ suy ra $ BD\bot SO$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD=\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& SO\subset \left( SBD \right), SO\bot BD \\
& AO\subset \left( ABCD \right), AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SO,AO} \right)=\widehat{SOA}$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên có $AC=a\sqrt{2}$ ; $AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}:\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SOA}=60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right) $. Mà $ SO\subset \left( SAC \right) $ suy ra $ BD\bot SO$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD=\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& SO\subset \left( SBD \right), SO\bot BD \\
& AO\subset \left( ABCD \right), AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBD \right),\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SO,AO} \right)=\widehat{SOA}$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên có $AC=a\sqrt{2}$ ; $AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}:\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SOA}=60{}^\circ $.
Đáp án C.