Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $a$.
Ta có: $\widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}={{45}^{0}}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, $O=AC\cap BD$ thì $MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $SC//MO\subset \left( MBD \right)$ nên ta có:
${{d}_{\left( SC, BD \right)}}={{d}_{\left( SC, \left( MBD \right) \right)}}={{d}_{\left( C, \left( MBD \right) \right)}}={{d}_{\left( A, \left( MBD \right) \right)}}$ (Do mặt phẳng $\left( MBD \right)$ đi qua trung điểm $O$ của $AC$ ).
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên ta có:
$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=AC.\tan {{45}^{0}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AM=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Khối $AMBD$ là tam diện vuông tại $A$ nên ta có:
$\dfrac{1}{d_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}^{2}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\Rightarrow d_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow {{d}_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{d}_{\left( SC;BD \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, $O=AC\cap BD$ thì $MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $SC//MO\subset \left( MBD \right)$ nên ta có:
${{d}_{\left( SC, BD \right)}}={{d}_{\left( SC, \left( MBD \right) \right)}}={{d}_{\left( C, \left( MBD \right) \right)}}={{d}_{\left( A, \left( MBD \right) \right)}}$ (Do mặt phẳng $\left( MBD \right)$ đi qua trung điểm $O$ của $AC$ ).
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên ta có:
$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=AC.\tan {{45}^{0}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AM=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Khối $AMBD$ là tam diện vuông tại $A$ nên ta có:
$\dfrac{1}{d_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}^{2}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}\Rightarrow d_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}^{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow {{d}_{\left( A;\left( MBD \right) \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
Vậy ${{d}_{\left( SC;BD \right)}}=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án B.
