Google
Câu hỏi: Cho \(A\left( { - 1; 0} \right)\), \(B\left( {0; 5} \right)\), \(C\left( {3; 1} \right)\), \(D\left( {1; - 5} \right)\) và \(M\) là một điểm tùy ý. Tọa độ điểm \(G\) có tính chất \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \) là:
A. \(\left( {\dfrac{5}{6}; 0} \right)\)
B. \(\left( {0;\dfrac{3}{4}} \right)\)
C. \(\left( {\dfrac{1}{4}; - \dfrac{5}{4}} \right)\)
D. \(\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)
A. \(\left( {\dfrac{5}{6}; 0} \right)\)
B. \(\left( {0;\dfrac{3}{4}} \right)\)
C. \(\left( {\dfrac{1}{4}; - \dfrac{5}{4}} \right)\)
D. \(\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)
Phương pháp giải
- Thu gọn đẳng thức véc tơ đã cho bằng cách xen các trung điểm \(I, J\) của \(AB, CD\) vào đẳng thức.
- Nhận xét vị trí của \(G\) và suy ra tọa độ.
Lời giải chi tiết
Gọi \(I, J\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD\).
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \) \(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ} = 4\overrightarrow {MG} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MG} \)
\(\Leftrightarrow G\) là trung điểm của \(JI\).
Lại có \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\).
\(J\) là trung điểm của \(CD\) nên \(J\left( {2; - 2} \right)\).
\(G\) là trung điểm của \(JI\) nên \(G\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\).
- Thu gọn đẳng thức véc tơ đã cho bằng cách xen các trung điểm \(I, J\) của \(AB, CD\) vào đẳng thức.
- Nhận xét vị trí của \(G\) và suy ra tọa độ.
Lời giải chi tiết
Gọi \(I, J\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD\).
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \) \(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ} = 4\overrightarrow {MG} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MG} \)
\(\Leftrightarrow G\) là trung điểm của \(JI\).
Lại có \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}} \right)\).
\(J\) là trung điểm của \(CD\) nên \(J\left( {2; - 2} \right)\).
\(G\) là trung điểm của \(JI\) nên \(G\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\).
Đáp án D.