Google
Câu hỏi: Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tìm tập hợp các điểm M
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 0\\\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 0\end{array} \right.\)
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ} = 0\)
+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ} = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ
+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ
Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định
Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tìm tập hợp các điểm M
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 0\\\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 0\end{array} \right.\)
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ} = 0\)
+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ} = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ
+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ
Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định