Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải
Bước 1: Tham số hóa điểm M
Bước 2: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Bước 3: Tách vectơ trong biểu thức sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {MI} \) và đánh giá biểu thức
Bước 4: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn giả thiết
Lời giải chi tiết
Do M \( \in Ox\) nên M(a; 0)
Gọi I là trung điểm AB \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và I(7; 1)
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\)\( = 2MI\)
\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên Ox
Mà I(7; 1) \( \Rightarrow M(7;0)\)
Vậy M(7; 0) thì \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất
Bước 1: Tham số hóa điểm M
Bước 2: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Bước 3: Tách vectơ trong biểu thức sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {MI} \) và đánh giá biểu thức
Bước 4: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn giả thiết
Lời giải chi tiết
Do M \( \in Ox\) nên M(a; 0)
Gọi I là trung điểm AB \( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và I(7; 1)
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\)\( = 2MI\)
\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên Ox
Mà I(7; 1) \( \Rightarrow M(7;0)\)
Vậy M(7; 0) thì \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất