Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\)
a) Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
b) Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
a) Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
b) Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {MJ} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M \equiv J\)
Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).
b) Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).
Ta có: \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\left( {\overrightarrow {NA} - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)
\(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA} + \left( {\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {NA} \end{array}\)
Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MA} = 0\)
Khi đó: \(2\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {NA} = 2\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {NM} \)
Do đó \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {NM} \)
Mặt khác \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {NM} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {AP} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành
Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).
a) Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {MJ} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M \equiv J\)
Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).
b) Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).
Ta có: \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\left( {\overrightarrow {NA} - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)
\(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA} + \left( {\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {NA} \end{array}\)
Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MA} = 0\)
Khi đó: \(2\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {NA} = 2\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {NM} \)
Do đó \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {NM} \)
Mặt khác \(4\overrightarrow {NA} - 2\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {NM} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {AP} \)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành
Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).