Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến AM (\(M\) là trung điểm của \(BC\)). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Phương pháp giải
- Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\).
- Sử dụng tính chất hình bình hành để suy ra kết quả.
Lời giải chi tiết
Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\).
ME là đường trung bình tam giác nên ME//AC và \(ME= \frac{1}{2}AC\)
Mà \(AF = \frac{1}{2}AC\) nên ME=AF.
Lại có ME//AF nên tứ giác \(AFME\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Chú ý:
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Cách 3:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)
- Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\).
- Sử dụng tính chất hình bình hành để suy ra kết quả.
Lời giải chi tiết
Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\).
ME là đường trung bình tam giác nên ME//AC và \(ME= \frac{1}{2}AC\)
Mà \(AF = \frac{1}{2}AC\) nên ME=AF.
Lại có ME//AF nên tứ giác \(AFME\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Chú ý:
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Cách 3:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)