Câu hỏi: Cho điểm cố định trên đường tròn và hai điểm chạy trên đường tròn đó sao cho .
a) Tìm quỹ tích trung điểm của
b) Xác định vị trí của để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.
a) Tìm quỹ tích trung điểm
b) Xác định vị trí của
Lời giải chi tiết
(h. 59).
A) Ta có
.
Suy ra không đổi, do đó thuộc đường tròn tâm bán kính bằng .
Đảo lại, với mỗi điểm trên đường tròn đó ta kẻ dây cung của vuông góc với thì
Ta có . Góc có thể bằng hoặc bằng . Dễ thấy khi và chỉ khi ở về một phía của hay nằm trên cung lớn của đường tròn ( là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn ).
Vậy quỹ tích của là cung lớn .
b) Diện tích tam giác MNP là . Theo bất đẳng thức Cô-si, , mà nên . (*)
Ta có lớn nhất khi thẳng hàng và nằm giữa . Khi đó ta cũng có nên (*) xảy ra dấu “=”. Vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất hay thẳng hàng và nằm giữa
(h. 59).
A) Ta có
Suy ra
Đảo lại, với mỗi điểm
Ta có
Vậy quỹ tích của
b) Diện tích tam giác MNP là
Ta có