Google
Câu hỏi: Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm: \(A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2)\).
Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.
Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.
Phương pháp giải
\(+) \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB//DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\) \(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.
\(+) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \) \(\Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.
\(+) AB = AD \Rightarrow ABCD\) là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{DC}= (1; 7)\), \(\vec{AD} = (-7; 1)\)
\(\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\)
Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) không cùng phương
\(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành (1)
Ta có :
\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\
AD = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{{\left({ - 7} \right)}^2} + {1^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2
\end{array}\)
Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2)
Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1.( - 7) + 7.1 = 0\)
\(\Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) nên \(AB\bot AD\) (3)
Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.
Chú ý:
Các em cũng có thể đổi thứ thự chứng minh \(AB\bot AD\) lên trước suy ra HCN, rồi mới chứng minh AB=AD suy ra hình vuông cũng được.
\(+) \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB//DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\) \(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.
\(+) \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \) \(\Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.
\(+) AB = AD \Rightarrow ABCD\) là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{DC}= (1; 7)\), \(\vec{AD} = (-7; 1)\)
\(\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\)
Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) không cùng phương
\(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành (1)
Ta có :
\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\
AD = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{{\left({ - 7} \right)}^2} + {1^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2
\end{array}\)
Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2)
Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1.( - 7) + 7.1 = 0\)
\(\Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) nên \(AB\bot AD\) (3)
Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.
Chú ý:
Các em cũng có thể đổi thứ thự chứng minh \(AB\bot AD\) lên trước suy ra HCN, rồi mới chứng minh AB=AD suy ra hình vuông cũng được.