Google
Câu hỏi: Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\vec{AB}.\vec{AC}\), \(\vec{AC}.\vec{CB}\).
Phương pháp giải
Cho hai vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0. \) Khi đó tích vô hướng của vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b \) được xác định bởi công thức sau:
$\overrightarrow a \overrightarrow {.b} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a , \overrightarrow b } \right).$
Lời giải chi tiết
\(\vec{AB} ⊥\vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\)
\(\vec{AC}.\vec{CB} =(- \vec{CA}). \vec{CB}=- (\vec{CA}. \vec{CB})\)
Ta có: \(CB= \sqrt{AB^2+AC^2}\)\(=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\)
Lại có \(\widehat{ACB} = 45^0\) vì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A.\)
Vậy \(\vec{AC}.\vec{CB} = -(\vec{CA}. \vec{CB})\)
\(= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. \cos\widehat{ACB}\)
\(= - CA. CB .\cos 45^0 \)
\(= - a. A\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}.\)
Cách khác:
$+$ Tính $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}:$
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\widehat{\mathrm{BAC}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$
$+$ Tính $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}:$
$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\mathrm{AC}=\mathrm{a},|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|=\mathrm{BC}=\mathrm{a} \sqrt{2}$
Vẽ $\overrightarrow{\mathrm{CA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$(\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{CB}})=(\overrightarrow{\mathrm{CA}} ; \overrightarrow{\mathrm{CB}})$
$=\widehat{\mathrm{BCA}^{\prime}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{BCA}}$
$=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$
Vậy $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{CB}}| \cdot \cos (\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{CB}})$
$=\mathrm{a} \cdot \mathrm{a} \sqrt{2} \cdot \cos 135^{\circ}=-\mathrm{a}^{2}$
Cho hai vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0. \) Khi đó tích vô hướng của vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b \) được xác định bởi công thức sau:
$\overrightarrow a \overrightarrow {.b} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a , \overrightarrow b } \right).$
Lời giải chi tiết
\(\vec{AB} ⊥\vec{AC}\Rightarrow \vec{AB}.\vec{AC} = 0\)
\(\vec{AC}.\vec{CB} =(- \vec{CA}). \vec{CB}=- (\vec{CA}. \vec{CB})\)
Ta có: \(CB= \sqrt{AB^2+AC^2}\)\(=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\)
Lại có \(\widehat{ACB} = 45^0\) vì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A.\)
Vậy \(\vec{AC}.\vec{CB} = -(\vec{CA}. \vec{CB})\)
\(= -|\vec{CA}|. |\vec{CB}|. \cos\widehat{ACB}\)
\(= - CA. CB .\cos 45^0 \)
\(= - a. A\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = - {a^2}.\)
Cách khác:
$+$ Tính $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}:$
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\widehat{\mathrm{BAC}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$
$+$ Tính $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}:$
$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\mathrm{AC}=\mathrm{a},|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|=\mathrm{BC}=\mathrm{a} \sqrt{2}$
Vẽ $\overrightarrow{\mathrm{CA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$(\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{CB}})=(\overrightarrow{\mathrm{CA}} ; \overrightarrow{\mathrm{CB}})$
$=\widehat{\mathrm{BCA}^{\prime}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{BCA}}$
$=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$
Vậy $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{CB}}| \cdot \cos (\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{CB}})$
$=\mathrm{a} \cdot \mathrm{a} \sqrt{2} \cdot \cos 135^{\circ}=-\mathrm{a}^{2}$