Bài 4 trang 45 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), B(4; 2)\)

Câu a​

Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\);
Phương pháp giải:
+) Điểm \(D \in Ox \Rightarrow D(x_0; 0).\)
\(\begin{array}{l}
+ ) DA = DB \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2}
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(D\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ của \(D\) là \((x; 0)\).
Ta có : \(\overrightarrow {DA} = \left( {{x_A} - {x_D};{y_A} - {y_D}} \right) = \left({1 - x; 3} \right)\)
\(\overrightarrow {DB} = \left( {{x_B} - {x_D};{y_B} - {y_D}} \right) = \left({4 - x; 2} \right).\)
\(\Rightarrow DA = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {3^2}} ,\) \(DB = \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {2^2}} \)
$\Rightarrow D A=D B$
$\Leftrightarrow D A^{2}=D B^{2}$
$\Leftrightarrow(1-x)^{2}+3^{2}=(4-x)^{2}+2^{2}$
$\Leftrightarrow 1-2 x+x^{2}+9=16-8 x+x^{2}+4$
$\Leftrightarrow 6 x=10$.
$\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}$
$\Rightarrow D\left(\frac{5}{3} ; 0\right)$

Câu b​

Tính chu vi tam giác \(OAB\);
Phương pháp giải:
+) Chu vi tam giác \(OAB: C = OA + OB + AB.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} = \left({1; 3} \right)\\
\Rightarrow OA = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \\
\overrightarrow {OB} = \left({4; 2} \right)\\
\Rightarrow OB = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \\
\overrightarrow {AB} = \left({{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\\
= \left({4 - 1; 2 - 3} \right) = \left({3; - 1} \right)\\
\Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left({ - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\
\Rightarrow C = OA + AB + OB\\
= \sqrt {10} + \sqrt {10} + 2\sqrt 5 \\
= 2\sqrt {10} + 2\sqrt 5
\end{array}\)
Vậy chu vi tam giác là \(2\sqrt {10} + 2\sqrt 5 \).

Câu c​

Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB.\)
Phương pháp giải:
+) \(OA \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB} = 0.\)
\(\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA. AB.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\vec{OA}= (1; 3)\); \(\vec{AB} = (3; -1)\)
\(\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 \)
\(\Rightarrow \vec{OA}\) ⊥ \(\vec{AB}\)
Do đó OA\(\bot\)AB nên \(\widehat {OAB} = {90^0}\) hay tam giác OAB vuông tại A.
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA. AB\) \(=\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}\)\(=5\) (đvdt)