Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác \(S. ABC\) có \(SA = SB = SC\) và có \(\widehat{ASB}= \widehat{BSC}=\widehat{CSA}.\) Chứng minh rằng \(SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB\).
Phương pháp giải
Chứng minh \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0; \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = 0; \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)}\)
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})\)
\(=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\)
\(= SA. SC.\cos\widehat{ASC} - SA. SB.\cos\widehat{ASB} = 0\)
Vậy \(SA ⊥ BC\).
\(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SB}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA})\)
\(=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}\)
\(= SB. SC.\cos\widehat{BSC} - SB. SA.\cos\widehat{ASB} = 0\)
Vậy \(SB ⊥ AC\).
\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SC}.(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA})\)
\(=\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}\)
\(= SC. SB.\cos\widehat{BSC} - SC. SA.\cos\widehat{ASC} = 0\)
Vậy \(SC ⊥ AB\).
Chứng minh \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0; \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = 0; \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)}\)
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})\)
\(=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}\)
\(= SA. SC.\cos\widehat{ASC} - SA. SB.\cos\widehat{ASB} = 0\)
Vậy \(SA ⊥ BC\).
\(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SB}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA})\)
\(=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}\)
\(= SB. SC.\cos\widehat{BSC} - SB. SA.\cos\widehat{ASB} = 0\)
Vậy \(SB ⊥ AC\).
\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SC}.(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA})\)
\(=\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}\)
\(= SC. SB.\cos\widehat{BSC} - SC. SA.\cos\widehat{ASC} = 0\)
Vậy \(SC ⊥ AB\).