Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’
a) Hãy phân tích các vecto \(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \) theo ba vecto \(\overrightarrow {AB} ; \overrightarrow {AD} ; \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}\)
b) Tính cos (\(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \)) và từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \) vuông góc với nhau
a) Hãy phân tích các vecto \(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \) theo ba vecto \(\overrightarrow {AB} ; \overrightarrow {AD} ; \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}\)
b) Tính cos (\(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \)) và từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC'} ; \overrightarrow {BD} \) vuông góc với nhau
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{
& a) \cr
& \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} {\rm{ = }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} \cr
& \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \cr
& b) \cr
& \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} \cr
& \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}) \cr
& = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).\overrightarrow {AD} - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AB}(1) \cr} \)
Hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau
\(\eqalign{
& (1) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {A{D}}^2 + \overrightarrow 0 - \overrightarrow {A{B}}^2 - \overrightarrow 0 - \overrightarrow 0 = 0 (AB = AD) \cr
& \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} = 0 \cr
& \Rightarrow (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {90^0} \cr} \)
Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.
\(\eqalign{
& a) \cr
& \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} {\rm{ = }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} \cr
& \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \cr
& b) \cr
& \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} \cr
& \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}) \cr
& = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).\overrightarrow {AD} - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}}).\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AB}(1) \cr} \)
Hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau
\(\eqalign{
& (1) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {A{D}}^2 + \overrightarrow 0 - \overrightarrow {A{B}}^2 - \overrightarrow 0 - \overrightarrow 0 = 0 (AB = AD) \cr
& \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} = 0 \cr
& \Rightarrow (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD}) = {90^0} \cr} \)
Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.