Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện \(ABCD\)
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD\) và \(AC ⊥ DB\) thì \(AD ⊥ BC\).
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD\) và \(AC ⊥ DB\) thì \(AD ⊥ BC\).
Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \)
\(= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\) \(+ \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\) \(+ \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) \(+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)
\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) \(+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
\(= 0 + 0 + 0 = 0 \)
b) \(AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\)
\(AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\)
Từ đẳng thức câu a ta có:
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC\).
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \)
\(= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\) \(+ \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\) \(+ \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \) \(+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)
\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \) \(+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
\(= 0 + 0 + 0 = 0 \)
b) \(AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,\)
\(AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0\)
Từ đẳng thức câu a ta có:
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC\).