Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:
a) \(AB ⊥ CD\);
b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).
a) \(AB ⊥ CD\);
b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).
Lời giải chi tiết
A) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=AB. AD.\cos\widehat{BAD}-AB. AC.\cos\widehat{BAC} =0\)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left({\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left({\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)
\end{array}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\)
\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2})\)
\(= {1 \over 2}(AB. AD.\cos\widehat{BAD}+AB. AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)
\(={1 \over 2}(AB. AD.\cos60^0+AB. AC.\cos60^0-AB^2)\)
\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow AB ⊥ MN\).
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} \\
= \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\left({\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({{{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{D^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - A{C^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{D^2} - AB. AC\cos \widehat {BAD} - A{C^2} + AB. AC.\cos \widehat {BAC}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{B^2} - A{B^2}\cos {{60}^0} - A{B^2} + A{B^2}\cos {{60}^0}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}. 0 = 0\\
\Rightarrow MN \bot CD
\end{array}\)
A) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=AB. AD.\cos\widehat{BAD}-AB. AC.\cos\widehat{BAC} =0\)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {MN} \\
= \left({\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left({\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \\
= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)
\end{array}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\)
\(= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2})\)
\(= {1 \over 2}(AB. AD.\cos\widehat{BAD}+AB. AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)
\(={1 \over 2}(AB. AD.\cos60^0+AB. AC.\cos60^0-AB^2)\)
\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0\) \(\Rightarrow AB ⊥ MN\).
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} \\
= \dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\left({\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({{{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{D^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - A{C^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{D^2} - AB. AC\cos \widehat {BAD} - A{C^2} + AB. AC.\cos \widehat {BAC}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left({A{B^2} - A{B^2}\cos {{60}^0} - A{B^2} + A{B^2}\cos {{60}^0}} \right)\\
= \dfrac{1}{2}. 0 = 0\\
\Rightarrow MN \bot CD
\end{array}\)