Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $K$ là điểm thỏa mãn...

Cách 1.
Đặt $\overrightarrow{SL}=m\overrightarrow{SK}=\dfrac{m}{4}\overrightarrow{SB}+\dfrac{m}{3}\overrightarrow{SC}$ (1).
Đặt $\overrightarrow{BL}=n\overrightarrow{BC}$ thì suy ra $\overrightarrow{BL}=n\left( \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} \right)=-n\overrightarrow{SB}+n\overrightarrow{SC}$.
Do đó $\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BL}=\left( 1-n \right)\overrightarrow{SB}+n\overrightarrow{SC}$ (2).
Do $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{SC}$ không cùng phương nên từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{m}{4}=1-n \\
& \dfrac{m}{3}=n \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{12}{7} \\
& n=\dfrac{4}{7} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\overrightarrow{BL}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{BC}$ hay $L$ thuộc đoạn $BC$ và $BL=\dfrac{4}{7}BC$.
Từ đó suy ra ${{V}_{S.ABL}}=\dfrac{4}{7}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{7}.56=32$.
Cách 2.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{SM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{SN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SC}$ ; $P$ là trung điểm $MN$, thế thì
$\overrightarrow{SK}=2\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SN}.$
Qua $M$, $N$ kẻ các đường thẳng song song với $SL$, cắt $BC$ lần lượt tại $Q$, $R$. Khi đó $PL$ là đường trung bình của hình thang $MNRQ$ nên $L$ là trung điểm $QR$. Mặt khác, theo định lí Thales thì
$\dfrac{LQ}{LB}=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{1}{4},\quad \dfrac{LR}{LC}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{3}.$
Từ đó
$BC=LB+LC=4LQ+3LR=7LQ\Rightarrow \dfrac{BL}{BC}=\dfrac{4}{7}.$
Từ đó suy ra ${{V}_{S.ABL}}=\dfrac{4}{7}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{7}\cdot 56=32$.