Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$. Có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $2a,SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SB=a\sqrt{5}$. Gọi $M; N$ lần lượt là trung điểm của $AB;AD$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $BN$
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a; SM=SN=MN=a\sqrt{2}; BN=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{N}^{2}}}=a\sqrt{5}$
$\begin{aligned}
& \cos \left( SM;BN \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{SM};\overrightarrow{BN} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{BN} \right|}{SM.BN}=\dfrac{\left| \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SB} \right|}{SM.BN} \\
& =\dfrac{\left| \dfrac{S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{M}^{2}}+S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2} \right|}{SM.BN} =\dfrac{\left| {{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
$\begin{aligned}
& \cos \left( SM;BN \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{SM};\overrightarrow{BN} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{BN} \right|}{SM.BN}=\dfrac{\left| \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SB} \right|}{SM.BN} \\
& =\dfrac{\left| \dfrac{S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{M}^{2}}+S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2} \right|}{SM.BN} =\dfrac{\left| {{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}+5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5} \\
\end{aligned}$
Đáp án A.
