Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD=2\sqrt{2}, AB=1, $ $SA=SB, $ $SC=SD.$ Biết rằng hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ vuông góc với nhau và tổng diện tích của hai tam giác $SAB$ và $SCD$ bằng $\sqrt{3}.$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $1.$
B. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\sqrt{2}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ suy ra $SM\bot AB$
Vì $(SAB)\bot (SCD)$ suy ra $SM\bot (SCD)$ $\Rightarrow SM\bot SN;(SMN)\bot (ABCD)$
Kẻ $SH\bot MN$ suy ra $SH\bot (ABCD)$. Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.AB.SM+\dfrac{1}{2}.CD.SN=\sqrt{3}$ $\Rightarrow SM+SN=2\sqrt{3}$
Tam giác $SMN$ vuông tại $S$ nên $S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{(2\sqrt{2})}^{2}}=8$
Giải hệ $\left\{ \begin{matrix}
SM+SN=2\sqrt{3} \\
S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=8 \\
\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow SM=1+\sqrt{3};SN=-1+\sqrt{3} $; $ SH=\dfrac{SM.SN}{MN}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy thể tích khối chóp ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{2}{3}$
A. $1.$
B. $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\sqrt{2}.$
Vì $(SAB)\bot (SCD)$ suy ra $SM\bot (SCD)$ $\Rightarrow SM\bot SN;(SMN)\bot (ABCD)$
Kẻ $SH\bot MN$ suy ra $SH\bot (ABCD)$. Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.AB.SM+\dfrac{1}{2}.CD.SN=\sqrt{3}$ $\Rightarrow SM+SN=2\sqrt{3}$
Tam giác $SMN$ vuông tại $S$ nên $S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{(2\sqrt{2})}^{2}}=8$
Giải hệ $\left\{ \begin{matrix}
SM+SN=2\sqrt{3} \\
S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=8 \\
\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow SM=1+\sqrt{3};SN=-1+\sqrt{3} $; $ SH=\dfrac{SM.SN}{MN}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy thể tích khối chóp ${{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{2}{3}$
Đáp án C.
