Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$, $AD=3a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng
A. $60{}^\circ $
B. $45{}^\circ $
C. $90{}^\circ $
D. $30{}^\circ $
Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$. Khi đó, do $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& SH\bot AB \\
& AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot HK$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
& AB\subset \left( SAB \right);CD\subset \left( SCD \right) \\
& AB//CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx//AB//CD$
Mà $Sx\bot \left( SHK \right)$ vì $\left\{ \begin{aligned}
& Sx\bot SH; Sx\bot HK \\
& SH\cap HK=H \\
\end{aligned} \right.$.
Nên $\left( \widehat{\left( SAB \right);\left( SCD \right)} \right)=\left( \widehat{SH,SK} \right)$ với $SH=\left( SHK \right)\cap \left( SAB \right)$ và $SK=\left( SHK \right)\cap \left( SCD \right)$.
Ta tính góc $\widehat{SHK}$. Xét $\Delta SHK$ vuông tại $H$ có $\tan \widehat{SHK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{3a}{2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SHK}=60{}^\circ $.
Vậy $\left( \widehat{SH,SK} \right)=\widehat{SHK}=60{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $
B. $45{}^\circ $
C. $90{}^\circ $
D. $30{}^\circ $
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& SH\bot AB \\
& AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot HK$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
& AB\subset \left( SAB \right);CD\subset \left( SCD \right) \\
& AB//CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx//AB//CD$
Mà $Sx\bot \left( SHK \right)$ vì $\left\{ \begin{aligned}
& Sx\bot SH; Sx\bot HK \\
& SH\cap HK=H \\
\end{aligned} \right.$.
Nên $\left( \widehat{\left( SAB \right);\left( SCD \right)} \right)=\left( \widehat{SH,SK} \right)$ với $SH=\left( SHK \right)\cap \left( SAB \right)$ và $SK=\left( SHK \right)\cap \left( SCD \right)$.
Ta tính góc $\widehat{SHK}$. Xét $\Delta SHK$ vuông tại $H$ có $\tan \widehat{SHK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{3a}{2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SHK}=60{}^\circ $.
Vậy $\left( \widehat{SH,SK} \right)=\widehat{SHK}=60{}^\circ $.
Đáp án A.