Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác đều $SAB$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Ta có $\tan $ của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
Ta có: $H$ là trung điểm $AB$ thì $SH\bot AB$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\parallel CD \\
& S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx\ \text{//}\ AB\ \text{//}\ CD$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx \\
& \left( SAB \right)\supset SH\bot Sx \\
& \left( SCD \right)\supset SK\bot Sx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\widehat{HSK} $, với $ K $ là trung điểm $ CD$.
Xét tam giác $HSK$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow \tan \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Ta có: $H$ là trung điểm $AB$ thì $SH\bot AB$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& AB\parallel CD \\
& S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx\ \text{//}\ AB\ \text{//}\ CD$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx \\
& \left( SAB \right)\supset SH\bot Sx \\
& \left( SCD \right)\supset SK\bot Sx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\widehat{HSK} $, với $ K $ là trung điểm $ CD$.
Xét tam giác $HSK$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow \tan \left( \widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.
