Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow $ $SO\bot AB$.
Ta có: $S$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$.
$AB\subset \left( SAB \right)$ ; $CD\subset \left( SCD \right)$ ; $AB//CD$.
Suy ra hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta $ đi qua $S$, song song với $AB$ và $CD$.
Gọi $H$ ; $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ $\Rightarrow $ $HK$ đi qua $O$ và $HK\bot AB$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AB \\
& HK\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ AB\bot \left( SHK \right) $ $ \Rightarrow $ $ \Delta \bot \left( SHK \right) $ (Do $ \Delta //AB$).
$\Rightarrow $ $\widehat{\left( \left( SAB \right) ; \left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( SH ; SK \right)}=60{}^\circ $ $\Rightarrow $ $SH\bot SK$ $\Rightarrow $ Tam giác $SHK$ là tam giác đều.
Kẻ $KP$ vuông góc $SH$ tại $P$.
Do $CD//AB\subset \left( SAB \right)\Rightarrow CD//\left( SAB \right)$ nên $d\left( CD;AB \right)=d\left( CD;\left( SAB \right) \right)=d\left( K;\left( SAB \right) \right)=a$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& KP\bot SH \\
& KP\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow KP\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( K;\left( SAB \right) \right)=KP=a\Rightarrow SO=a $ và $ HK=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} $(Do tam giác $ SHK$ là tam giác đều)
Suy ra ${{S}_{ABCD}}=H{{K}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{4}{9}{{a}^{3}}$.
A. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
B. $V=\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow $ $SO\bot AB$.
Ta có: $S$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$.
$AB\subset \left( SAB \right)$ ; $CD\subset \left( SCD \right)$ ; $AB//CD$.
Suy ra hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $\Delta $ đi qua $S$, song song với $AB$ và $CD$.
Gọi $H$ ; $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ $\Rightarrow $ $HK$ đi qua $O$ và $HK\bot AB$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AB \\
& HK\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ AB\bot \left( SHK \right) $ $ \Rightarrow $ $ \Delta \bot \left( SHK \right) $ (Do $ \Delta //AB$).
$\Rightarrow $ $\widehat{\left( \left( SAB \right) ; \left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( SH ; SK \right)}=60{}^\circ $ $\Rightarrow $ $SH\bot SK$ $\Rightarrow $ Tam giác $SHK$ là tam giác đều.
Kẻ $KP$ vuông góc $SH$ tại $P$.
Do $CD//AB\subset \left( SAB \right)\Rightarrow CD//\left( SAB \right)$ nên $d\left( CD;AB \right)=d\left( CD;\left( SAB \right) \right)=d\left( K;\left( SAB \right) \right)=a$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& KP\bot SH \\
& KP\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow KP\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( K;\left( SAB \right) \right)=KP=a\Rightarrow SO=a $ và $ HK=\dfrac{2a}{\sqrt{3}} $(Do tam giác $ SHK$ là tam giác đều)
Suy ra ${{S}_{ABCD}}=H{{K}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{4}{9}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.
