Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1$, $AD=\sqrt{10}$, $SA=SB$, $SC=SD$. Biết mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SCD$ bằng 2. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. 2.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. 1.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Theo giả thiết $SA=SB$, $SC=SD$ suy ra góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$ là góc giữa $SM$ và $SN$, từ đó $SM\bot SN$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $MN$, dễ dàng suy ra $SH\bot (ABCD)$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SM.AB+\dfrac{1}{2}SN.CD=2$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(SM+SN)=2\Leftrightarrow SM+SN=4$.
Như vậy: $\left\{ \begin{aligned}
& SM+SN=4 \\
& S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SM.SN=3 $, từ đó $ SH=\dfrac{SM.SN}{MN}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}=1$.
A. 2.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. 1.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $MN$, dễ dàng suy ra $SH\bot (ABCD)$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SCD}}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}SM.AB+\dfrac{1}{2}SN.CD=2$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(SM+SN)=2\Leftrightarrow SM+SN=4$.
Như vậy: $\left\{ \begin{aligned}
& SM+SN=4 \\
& S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SM.SN=3 $, từ đó $ SH=\dfrac{SM.SN}{MN}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}=1$.
Đáp án C.