Google
Câu hỏi: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:
\(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
\(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
Phương pháp giải
Tính đạo hàm cấp 1 rồi tính tiếp đạo hàm cấp 2 của hàm số.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
y' = \left(x \right)'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left({1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
y'' = \dfrac{{\left({1 + 2{x^2}} \right)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left({1 + 2{x^2}} \right)\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left({1 + 2{x^2}} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \dfrac{{\left({1 + 2{x^2}} \right). X}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\left({1 + {x^2}} \right) - x\left({1 + 2{x^2}} \right)}}{{\left({1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{3x + 2{x^3}}}{{\left({1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)
Tính đạo hàm cấp 1 rồi tính tiếp đạo hàm cấp 2 của hàm số.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
y' = \left(x \right)'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left({1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
y'' = \dfrac{{\left({1 + 2{x^2}} \right)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left({1 + 2{x^2}} \right)\left({\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left({1 + 2{x^2}} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \dfrac{{\left({1 + 2{x^2}} \right). X}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\left({1 + {x^2}} \right) - x\left({1 + 2{x^2}} \right)}}{{\left({1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{3x + 2{x^3}}}{{\left({1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)