Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\), \(K\) là trung điểm của \(AB, E\) là trung điểm của \(AC.\) Trên tia đối của tia \(KC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(KM = KC.\) Trên tia đối của tia \(EB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(EN = EB.\) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm của \(MN.\)
Phương pháp giải
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
- Tiên đề Ơclit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆AKM\) và \(∆BKC\), có:
\(AK = BK\) (vì K là trung điểm của AB)
\(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh)
\(KM = KC\) (gt)
\( \Rightarrow ∆AKM = ∆ BKC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AMK} \) và \( \widehat {BCK}\) ở vị trí so le trong nên \( AM // BC \).
Xét \(∆AEN\) và \(∆ CEB\), ta có:
\(AE = CE\) (vì E là trung điểm của AC)
\(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh)
\(EN = EB\) (gt)
\(\Rightarrow ∆AEN = ∆ CEB\) (c.g.c)
\(\Rightarrow AN = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {E{\rm{A}}N} \) và \( \widehat {ECB}\) ở vị trí so le trong nên \( AN // BC \).
Ta có: \(AM //BC\) và \(AN // BC\) nên theo tiên đề Ơclit thì hai đường thẳng \(AM\) và \(AN\) trùng nhau hay \(M, A, N\) thẳng hàng (1)
Mặt khác \(AM = AN\) (vì cùng bằng \(BC\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(A\) là trung điểm của \(MN.\)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
- Tiên đề Ơclit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ có $K A=K B(K \in A B), E A=E C(E \in A C)$ $M \in$ tia đối của tia $K C$ sao cho $K M=K C$ $N \in$ tia đối của tia $E B$ sao cho $E N=E B$ |
| KL | $A$ là trung điểm $M N$. |
Xét \(∆AKM\) và \(∆BKC\), có:
\(AK = BK\) (vì K là trung điểm của AB)
\(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh)
\(KM = KC\) (gt)
\( \Rightarrow ∆AKM = ∆ BKC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AMK} \) và \( \widehat {BCK}\) ở vị trí so le trong nên \( AM // BC \).
Xét \(∆AEN\) và \(∆ CEB\), ta có:
\(AE = CE\) (vì E là trung điểm của AC)
\(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh)
\(EN = EB\) (gt)
\(\Rightarrow ∆AEN = ∆ CEB\) (c.g.c)
\(\Rightarrow AN = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {E{\rm{A}}N} \) và \( \widehat {ECB}\) ở vị trí so le trong nên \( AN // BC \).
Ta có: \(AM //BC\) và \(AN // BC\) nên theo tiên đề Ơclit thì hai đường thẳng \(AM\) và \(AN\) trùng nhau hay \(M, A, N\) thẳng hàng (1)
Mặt khác \(AM = AN\) (vì cùng bằng \(BC\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(A\) là trung điểm của \(MN.\)
