Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \(AB\) và bằng \(AB\) (\(D\) khác phía \(C\) đối với \( AB\)), vẽ đoạn thẳng \(AE \) vuông góc với \(AC\) và bằng \(AC\) (\(E\) khác phía \(B\) đối với \(AC\))
Chứng minh rằng:
a) \(DC = BE\)
b) \({\rm{D}}C \bot BE\)
Chứng minh rằng:
a) \(DC = BE\)
b) \({\rm{D}}C \bot BE\)
Phương pháp giải
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
- Tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {EAC} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \)
Xét \(∆ABE\) và \(∆ADC\), ta có:
\(AB = AD\) (gt)
\( \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)
\(AE = AC\) (gt)
\(\Rightarrow ∆ABE = ∆ADC\) (c.g.c)
\(\Rightarrow BE= DC\) (hai cạnh tương ứng)
b) Gọi giao điểm \(DC\) và \(AB\) là \(H\), giao điểm của \(CD\) và \(BE\) là \(K\)
Ta có: \(∆ABE = ∆ADC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat D\) (1)
Xét tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HBK} + \widehat {KHB} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆KHB\), ta có:
\(\widehat {KHB} + \widehat {HBK} + \widehat {BKH} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {HBK} + \widehat {KHB}} \right)\)\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Vậy \(DC \bot BE\).
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
- Tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ nhọn. $A D \perp A B, A D=A B(D, C$ nằm khác phía đối với $A B)$ $A E \perp A C, A E=A C(E, B$ nằm khác phía đối với $A C)$ |
| KL | a) $D C=B E$ b) $D C \perp B E$ |
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {EAC} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \)
Xét \(∆ABE\) và \(∆ADC\), ta có:
\(AB = AD\) (gt)
\( \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)
\(AE = AC\) (gt)
\(\Rightarrow ∆ABE = ∆ADC\) (c.g.c)
\(\Rightarrow BE= DC\) (hai cạnh tương ứng)
b) Gọi giao điểm \(DC\) và \(AB\) là \(H\), giao điểm của \(CD\) và \(BE\) là \(K\)
Ta có: \(∆ABE = ∆ADC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat D\) (1)
Xét tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HBK} + \widehat {KHB} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆KHB\), ta có:
\(\widehat {KHB} + \widehat {HBK} + \widehat {BKH} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {HBK} + \widehat {KHB}} \right)\)\( = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Vậy \(DC \bot BE\).