Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( 3;1;4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$, $C\left( 4;0;0 \right)$. Trên các tia $Bm,Cn$ cùng phía và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ thỏa mãn $BM.CN=1$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và $E$ là điểm đối xứng của $I$ qua trực tâm tam giác $AMN$. Biết khi $M,N$ di động thì $E$ nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
A. $\dfrac{\sqrt{17}}{9}$.
B. $\dfrac{17}{18}$.
C. $\dfrac{17}{9}$.
D. $\dfrac{18}{17}$.
Dễ dàng tính được $AB=AC=3\sqrt{2}$ và $BC=2$ $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.
Do $I$ là trung điểm $BC$ nên $AI\bot BC$.
Trong $\left( BCNM \right)$, ta có: $\tan \widehat{BIM}.\tan \widehat{CIN}=\dfrac{BM}{BI}.\dfrac{CN}{CI}=1$.
$\Rightarrow \widehat{BIM}+\widehat{CIN}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIN}={{90}^{0}}$.
Trong $\left( BCNM \right)$, vẽ $IK\bot MN$ tại $K$.
Do tứ giác $BIKM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{MIB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$ ).
Mặt khác $CIKN$ nối tiếp $\Rightarrow \widehat{CKN}=\widehat{NIC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $NC$ ).
Suy ra $\widehat{MKB}+\widehat{CKN}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BKC}={{90}^{0}}$.
Lại có, $\Delta BKC$ vuông tại $K$ $\Rightarrow IK=\dfrac{BC}{2}=1$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& AI\bot BM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCNM \right)\Rightarrow AI\bot MN$.
Mà $IK\bot MN\Rightarrow MN\bot \left( AIK \right)\Rightarrow MN\bot AK$.
Tóm lại $\left\{ \begin{aligned}
& IA\bot IM \\
& IA\bot IN \\
\end{aligned} \right. $ (do $ AI\bot \left( BCNM \right) $) và $ IM\bot IN\left( cmt \right)$
Suy ra tứ diện $IAMN$ có $IM,IA,IN$ đôi một vuông góc
Trong $\left( AIK \right)$, vẽ $IH\bot AK$ tại $H$ $\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta AMN$.
Suy ra $IE=2IH=2.\dfrac{IA.IK}{\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=2.\dfrac{\sqrt{17}.1}{\sqrt{17+1}}=\dfrac{\sqrt{34}}{3}$
Suy ra $E\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;0;0 \right)$ cố định và $R=IE=\dfrac{\sqrt{34}}{3}$.
$\Rightarrow E\in \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+\dfrac{47}{9}=0$. (1)
Mặt khác $\Delta AEH=\Delta AIH$ (c-g-c) vì $\left\{ \begin{aligned}
& AH:chung \\
& IH=EH \\
& \widehat{AHI}=\widehat{EHA}={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AE=AI=\sqrt{17}$
Suy ra $E\in \left( S' \right)$ : tâm $A\left( 3;1;4 \right),R'=\sqrt{17}$ $\Rightarrow E\in \left( S' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-2y-8z+9=0$ (2).
$\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta có $E\in \left( P \right):2y+8z-\dfrac{34}{9}=0$.
Do đó: ${{r}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{34}{9}-\dfrac{17}{81}}=\dfrac{17}{9}$.
A. $\dfrac{\sqrt{17}}{9}$.
B. $\dfrac{17}{18}$.
C. $\dfrac{17}{9}$.
D. $\dfrac{18}{17}$.
Do $I$ là trung điểm $BC$ nên $AI\bot BC$.
Trong $\left( BCNM \right)$, ta có: $\tan \widehat{BIM}.\tan \widehat{CIN}=\dfrac{BM}{BI}.\dfrac{CN}{CI}=1$.
$\Rightarrow \widehat{BIM}+\widehat{CIN}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIN}={{90}^{0}}$.
Trong $\left( BCNM \right)$, vẽ $IK\bot MN$ tại $K$.
Do tứ giác $BIKM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{MIB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$ ).
Mặt khác $CIKN$ nối tiếp $\Rightarrow \widehat{CKN}=\widehat{NIC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $NC$ ).
Suy ra $\widehat{MKB}+\widehat{CKN}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BKC}={{90}^{0}}$.
Lại có, $\Delta BKC$ vuông tại $K$ $\Rightarrow IK=\dfrac{BC}{2}=1$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& AI\bot BM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCNM \right)\Rightarrow AI\bot MN$.
Mà $IK\bot MN\Rightarrow MN\bot \left( AIK \right)\Rightarrow MN\bot AK$.
Tóm lại $\left\{ \begin{aligned}
& IA\bot IM \\
& IA\bot IN \\
\end{aligned} \right. $ (do $ AI\bot \left( BCNM \right) $) và $ IM\bot IN\left( cmt \right)$
Suy ra tứ diện $IAMN$ có $IM,IA,IN$ đôi một vuông góc
Trong $\left( AIK \right)$, vẽ $IH\bot AK$ tại $H$ $\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta AMN$.
Suy ra $IE=2IH=2.\dfrac{IA.IK}{\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=2.\dfrac{\sqrt{17}.1}{\sqrt{17+1}}=\dfrac{\sqrt{34}}{3}$
Suy ra $E\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;0;0 \right)$ cố định và $R=IE=\dfrac{\sqrt{34}}{3}$.
$\Rightarrow E\in \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+\dfrac{47}{9}=0$. (1)
Mặt khác $\Delta AEH=\Delta AIH$ (c-g-c) vì $\left\{ \begin{aligned}
& AH:chung \\
& IH=EH \\
& \widehat{AHI}=\widehat{EHA}={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AE=AI=\sqrt{17}$
Suy ra $E\in \left( S' \right)$ : tâm $A\left( 3;1;4 \right),R'=\sqrt{17}$ $\Rightarrow E\in \left( S' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-2y-8z+9=0$ (2).
$\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta có $E\in \left( P \right):2y+8z-\dfrac{34}{9}=0$.
Do đó: ${{r}_{\left( C \right)}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{34}{9}-\dfrac{17}{81}}=\dfrac{17}{9}$.
Đáp án C.