Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: \(m(m + 2){x^2} + 2mx + 2 > 0.\)
Phương pháp giải
Biện luận theo tham số m các trường hợp \(a=0\) và \(a\ne 0\).
Lời giải chi tiết
+) TH1:
\(m\left( {m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = - 2
\end{array} \right.\)
+Nếu \(m = 0\) thì bất phương trình là \(2>0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) (thỏa mãn).
+Nếu \(m = - 2\) thì bất phương tình trở thành \(- 4x + 2 > 0\), không nghiệm đúng với mọi \(x\) (loại).
+) TH2:
Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne - 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}m(m + 2) > 0\\{\Delta '} = {m^2} - 2m(m + 2) < 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m(m + 2) > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 4
\end{array} \right.\)
Đáp số: \(m < - 4; m \ge 0\).
Biện luận theo tham số m các trường hợp \(a=0\) và \(a\ne 0\).
Lời giải chi tiết
+) TH1:
\(m\left( {m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = - 2
\end{array} \right.\)
+Nếu \(m = 0\) thì bất phương trình là \(2>0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) (thỏa mãn).
+Nếu \(m = - 2\) thì bất phương tình trở thành \(- 4x + 2 > 0\), không nghiệm đúng với mọi \(x\) (loại).
+) TH2:
Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne - 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}m(m + 2) > 0\\{\Delta '} = {m^2} - 2m(m + 2) < 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m(m + 2) > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 4
\end{array} \right.\)
Đáp số: \(m < - 4; m \ge 0\).