Google
Câu hỏi: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:
a) \(1 + i\sqrt 2 \) và \(1 - i\sqrt 2 \)
b) \(\sqrt 3 + 2i\) và \(\sqrt 3 - 2i\)
c) \(- \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \(- \sqrt 3 - i\sqrt 2 \)
a) \(1 + i\sqrt 2 \) và \(1 - i\sqrt 2 \)
b) \(\sqrt 3 + 2i\) và \(\sqrt 3 - 2i\)
c) \(- \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \(- \sqrt 3 - i\sqrt 2 \)
Phương pháp giải
Tính \({z_1} + {z_2},{z_1}.{z_2}\) và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý:
Nếu \(S = {z_1} + {z_2}\) và \(P = {z_1}{z_2}\) thì \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - Sz + P = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2 \) thì:
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\
{z_1}{z_2} = \left({1 + i\sqrt 2 } \right)\left({1 - i\sqrt 2 } \right)\\
= {1^2} - {\left({i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\).
b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 - 2i\) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left({\sqrt 3 + 2i} \right)\left({\sqrt 3 - 2i} \right)\\
= {\left({\sqrt 3 } \right)^2} - {\left({2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\).
c) Đặt \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \({z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left({ - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left({ - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\
= {\left({ - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left({i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).
Tính \({z_1} + {z_2},{z_1}.{z_2}\) và suy ra phương trình cần tìm, dựa vào chú ý:
Nếu \(S = {z_1} + {z_2}\) và \(P = {z_1}{z_2}\) thì \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - Sz + P = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Đặt \({z_1} = 1 + i\sqrt 2 ,{z_2} = 1 - i\sqrt 2 \) thì:
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1 + i\sqrt 2 + 1 - i\sqrt 2 = 2\\
{z_1}{z_2} = \left({1 + i\sqrt 2 } \right)\left({1 - i\sqrt 2 } \right)\\
= {1^2} - {\left({i\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + 2 = 3
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\).
b) Đặt \({z_1} = \sqrt 3 + 2i\) và \({z_2} = \sqrt 3 - 2i\) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = \sqrt 3 + 2i + \sqrt 3 - 2i = 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left({\sqrt 3 + 2i} \right)\left({\sqrt 3 - 2i} \right)\\
= {\left({\sqrt 3 } \right)^2} - {\left({2i} \right)^2} = 3 + 4 = 7
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 7 = 0\).
c) Đặt \({z_1} = - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \({z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \) thì
\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \sqrt 3 - i\sqrt 2 - \sqrt 3 + i\sqrt 2 = - 2\sqrt 3 \\
{z_1}{z_2} = \left({ - \sqrt 3 - i\sqrt 2 } \right)\left({ - \sqrt 3 + i\sqrt 2 } \right)\\
= {\left({ - \sqrt 3 } \right)^2} - {\left({i\sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2 = 5
\end{array}\)
Vậy \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).