Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Phương pháp giải
Tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z \) rồi suy ra phương trình bậc hai nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.
Lời giải chi tiết
Nếu \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\)
\(z + \overline z =a+bi+a-bi= 2a \in \mathbb{R};\)
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left({a - bi} \right) \) \(= {a^2} - {\left( {bi} \right)^2}= {a^2} + {b^2} \in \mathbb{R}\)
Khi đó \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\)\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\bar z = 0\)\(\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).
Tính \(z + \overline z \) và \(z.\overline z \) rồi suy ra phương trình bậc hai nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.
Lời giải chi tiết
Nếu \(z = a + bi\) thì \(\overline z = a - bi\)
\(z + \overline z =a+bi+a-bi= 2a \in \mathbb{R};\)
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left({a - bi} \right) \) \(= {a^2} - {\left( {bi} \right)^2}= {a^2} + {b^2} \in \mathbb{R}\)
Khi đó \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left({x - \overline z } \right) = 0\)\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\bar z = 0\)\(\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).