Google
Câu hỏi: Biết \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính:
a) \(z_1^2 + z_2^2\) b) \(z_1^3 + z_2^3\)
c) \(z_1^4 + z_2^4\) d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\)
a) \(z_1^2 + z_2^2\) b) \(z_1^3 + z_2^3\)
c) \(z_1^4 + z_2^4\) d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng hệ thức Vi – et:
Phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0(a\ne 0)\) luôn có hai nghiệm thỏa mãn \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a},{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\) trong tập số phức \(\mathbb{C}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
a) \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\)\(= \dfrac{3}{4} - 3 = - \dfrac{9}{4}\)
b) \(z_1^3 + z_2^3\)\(= \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left({z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)\) \(= - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}\)
c) \(z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2. Z_2^2\)\(= {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left({\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)
d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\)\(= \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{3}{2}\)
Sử dụng hệ thức Vi – et:
Phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0(a\ne 0)\) luôn có hai nghiệm thỏa mãn \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a},{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\) trong tập số phức \(\mathbb{C}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}\). Từ đó suy ra:
a) \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}\)\(= \dfrac{3}{4} - 3 = - \dfrac{9}{4}\)
b) \(z_1^3 + z_2^3\)\(= \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left({z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)\) \(= - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}\)
c) \(z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2. Z_2^2\)\(= {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left({\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)
d) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}\)\(= \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} = - \dfrac{3}{2}\)