Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2+2(m+1) z+12 m-8=0...

$
\Delta^{\prime}=(m-1)^2-12 m-8=m^2-10 m+9
$
Trường hợp 1: $\Delta^{\prime}<0 \Leftrightarrow m^2-10 m+9<0 \Leftrightarrow 1<m<9$.
Phương trình có hai nghiệm $\left[\begin{array}{l}z_1=-m-1+i \sqrt{-m^2+10 m-9} \\ z_2=-m-1-i \sqrt{-m^2+10 m-9}\end{array}\right.$.
$
\begin{aligned}
& \left|z_1+1\right|=\left|z_2+1\right| \Leftrightarrow\left|-m+i \sqrt{-m^2+10 m-9}\right|=\left|-m-i \sqrt{-m^2+10 m-9}\right| . \\
& \Leftrightarrow(-m)^2-m^2+10 m-9=(-m)^2-m^2+10 m-9 \Leftrightarrow 0=0 \text { (luôn đúng) }
\end{aligned}
$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn.
Trường hợp 2: $\Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow m^2-10 m+9>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<1 \\ m>9\end{array}\right.$.
Ta có $\left|z_1+1\right|=\left|z_2+1\right| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_1+1=z_2+1 \\ z_1+1=-z_2-1\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_1=z_2 \text { (loai) } \\ z_1+z_2=-2\end{array} \Leftrightarrow-2 m-2=-2 \Leftrightarrow m=0\right.\right.$ $(\operatorname{tm})$.
Vậy có 1 giá trị của $m$ nguyên thoả mãn.
Kết hợp hai trường hợp có 8 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn.