Google
Câu hỏi: Xét hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1+1+2 i\right|=\sqrt{3},\left|z_2-2+i\right|=2 \sqrt{2}$ và $\left|z_1+z_2-1+3 i\right|=$
4. Giá trị lớn nhất của $\left|2 z_1-3 z_2+8-3 i\right|$ bằng
A. 58 .
B. 54 .
C. $4+3 \sqrt{6}$.
D. $3 \sqrt{6}-4$.
4. Giá trị lớn nhất của $\left|2 z_1-3 z_2+8-3 i\right|$ bằng
A. 58 .
B. 54 .
C. $4+3 \sqrt{6}$.
D. $3 \sqrt{6}-4$.
Đặt $u=z_1+1+2 i, v=z_2-2+i$. Từ giả thiết, ta có: $|u|=\sqrt{3},|v|=2 \sqrt{2}$ và $|u+v|=4$.
Ta có: $2 z_1-3 z_2+8-3 i=2(u-1-2 i)-3(v+2-i)+8-3 i$ $=2 u-2-4 i-3 v-6+3 i+8-3 i=2 u-3 v-4 i$.
Do đó, cần tìm giá trị lớn nhất của $P=|2 u-3 v-4 i|$.
Áp dụng $|z|^2=z \cdot \bar{z}$, ta có: $|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+(u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v) \Rightarrow u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v=5$ ;
$|2 u-3 v|^2=4|u|^2+9|v|^2-6(u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v)=54 \Rightarrow|2 u-3 v|=3 \sqrt{6}$.
Áp dụng $\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|$, ta có, $P \leq|2 u-3 v|+|-4 i|=4+3 \sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}2 u-3 v=-3 \sqrt{6} i \\ |u|=\sqrt{3} \\ |v|=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u= \pm \dfrac{\sqrt{426}}{12}+\dfrac{\sqrt{6}}{12} i \\ v= \pm \dfrac{\sqrt{426}}{18}+\dfrac{19 \sqrt{6}}{18} i\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}z_1=u-1-2 i \\ z_2=v+2-i\end{array}\right.\right.\right.$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left|2 z_1-3 z_2+8-3 i\right|$ bằng $4+3 \sqrt{6}$.
Ta có: $2 z_1-3 z_2+8-3 i=2(u-1-2 i)-3(v+2-i)+8-3 i$ $=2 u-2-4 i-3 v-6+3 i+8-3 i=2 u-3 v-4 i$.
Do đó, cần tìm giá trị lớn nhất của $P=|2 u-3 v-4 i|$.
Áp dụng $|z|^2=z \cdot \bar{z}$, ta có: $|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+(u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v) \Rightarrow u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v=5$ ;
$|2 u-3 v|^2=4|u|^2+9|v|^2-6(u \cdot \bar{v}+\bar{u} \cdot v)=54 \Rightarrow|2 u-3 v|=3 \sqrt{6}$.
Áp dụng $\left|z+z^{\prime}\right| \leq|z|+\left|z^{\prime}\right|$, ta có, $P \leq|2 u-3 v|+|-4 i|=4+3 \sqrt{6}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}2 u-3 v=-3 \sqrt{6} i \\ |u|=\sqrt{3} \\ |v|=2 \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u= \pm \dfrac{\sqrt{426}}{12}+\dfrac{\sqrt{6}}{12} i \\ v= \pm \dfrac{\sqrt{426}}{18}+\dfrac{19 \sqrt{6}}{18} i\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}z_1=u-1-2 i \\ z_2=v+2-i\end{array}\right.\right.\right.$.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left|2 z_1-3 z_2+8-3 i\right|$ bằng $4+3 \sqrt{6}$.
Đáp án C.