Google
Câu hỏi: Cho hai điểm \(A\left( {3; 0} \right)\), \(B\left( {0; 4} \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) có phương trình là:
A. \({x^2} + {y^2} = 1\)
B. \({x^2} + {y^2} = 2\)
C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 25 = 0\)
A. \({x^2} + {y^2} = 1\)
B. \({x^2} + {y^2} = 2\)
C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 25 = 0\)
Phương pháp giải
- Gọi \(I\left( {a; b} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\).
- Dựng hình, lập phương trình ẩn \(a, b\), giải và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\left( {a; b} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) \(\left( {0 < a, b < 3} \right)\)
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3; 0} \right), B\left({0; 4} \right)\) nên có phương trình \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\)
\(d\left( {I, OA} \right) = d\left({I, OB} \right) = d\left({I, AB} \right)\) \(\Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\)
Dễ thấy \(a, b > 0\) nên \(a = b\).
Do đó \(a = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5}\) \(\Leftrightarrow 5a = \left| {7a - 12} \right|\) \(\Leftrightarrow 25{a^2} = 49{a^2} - 168a + 144\) \(\Leftrightarrow 24{a^2} - 168a + 144 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\left( L \right)\\a = 1\left({TM} \right)\end{array} \right.\)
Do đó \(I\left( {1; 1} \right), R = 1\) nên ta có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 1\) hay \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\).
- Gọi \(I\left( {a; b} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\).
- Dựng hình, lập phương trình ẩn \(a, b\), giải và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\left( {a; b} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) \(\left( {0 < a, b < 3} \right)\)
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3; 0} \right), B\left({0; 4} \right)\) nên có phương trình \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\)
\(d\left( {I, OA} \right) = d\left({I, OB} \right) = d\left({I, AB} \right)\) \(\Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\)
Dễ thấy \(a, b > 0\) nên \(a = b\).
Do đó \(a = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5}\) \(\Leftrightarrow 5a = \left| {7a - 12} \right|\) \(\Leftrightarrow 25{a^2} = 49{a^2} - 168a + 144\) \(\Leftrightarrow 24{a^2} - 168a + 144 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\left( L \right)\\a = 1\left({TM} \right)\end{array} \right.\)
Do đó \(I\left( {1; 1} \right), R = 1\) nên ta có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} = 1\) hay \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\).
Đáp án C.